Berikut artikel asli ±2000 kata tentang lingkaran dan garis singgung, ditulis dengan bahasa yang jelas, terstruktur, dan mudah dipahami.

Lingkaran dan Garis Singgung: Konsep, Sifat, dan Penerapannya

Lingkaran adalah salah satu bentuk geometri yang paling sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Mulai dari roda kendaraan, jam dinding, piring, hingga orbit planet—semuanya mengandung unsur lingkaran. Dalam kajian matematika, lingkaran memiliki banyak sifat menarik, terutama ketika dikaitkan dengan garis singgung. Konsep garis singgung lingkaran bukan hanya penting dalam geometri dasar, tetapi juga menjadi dasar dalam rekayasa, arsitektur, teknik mesin, dan berbagai bidang terapan lainnya.

Artikel ini akan membahas secara komprehensif tentang lingkaran dan garis singgung: mulai dari pengertian dasar, sifat-sifat penting, cara menentukan garis singgung, hingga contoh penerapan dalam kehidupan nyata.

1. Pengertian Dasar Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang memiliki jarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Titik tertentu tersebut disebut pusat lingkaran, dan jarak antara titik-titik pada lingkaran dengan pusatnya disebut jari-jari.

Elemen-elemen Lingkaran

1. Pusat (O)
   Titik tetap yang menjadi acuan.

2. Jari-jari (r)
   Jarak dari pusat ke titik pada lingkaran.

3. Diameter (d)
   Garis lurus yang melalui pusat dan menghubungkan dua titik pada lingkaran.
   Rumus:
   [
   d = 2r
   ]

4. Busur
   Bagian dari keliling lingkaran.

5. Tali busur
   Segmen garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran tanpa harus melalui pusat.

6. Keliling (K)
   Rumus:
   [
   K = 2\pi r
   ]

7. Luas (L)
   Rumus:
   [
   L = \pi r^2
   ]

Lingkaran memiliki sifat simetri yang sangat kuat. Semua titik pada lingkaran “setara” dari sisi jaraknya terhadap pusat.

2. Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung atau tangent pada lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran hanya pada satu titik. Titik tersebut disebut titik singgung.

Garis singgung berbeda dengan garis secant (bersinggungan di dua titik) maupun garis luar yang tidak menyentuh lingkaran sama sekali.

Syarat utama garis singgung:

• Garis singgung tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik singgung.
  [
  OT \perp t
  ]

di mana
O = pusat lingkaran
T = titik singgung
t = garis singgung

3. Jenis-Jenis Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung dapat dibedakan menjadi dua jenis besar, tergantung jumlah lingkaran yang terlibat:

A. Garis singgung pada satu lingkaran

Terdapat dua kemungkinan:

1. Garis singgung dari luar (external tangent)
   Sebuah titik di luar lingkaran dapat menjadi sumber dua garis singgung.

2. Garis singgung pada lingkaran itu sendiri
   Menyentuh lingkaran pada satu titik saja.

B. Garis Singgung pada Dua Lingkaran

Jika terdapat dua lingkaran, maka garis singgung dapat berupa:

1. Garis Singgung Luar
   Menyentuh kedua lingkaran dari sisi luar.

2. Garis Singgung Dalam
   Menyentuh kedua lingkaran namun garisnya berada di antara kedua lingkaran.

4. Sifat-Sifat Penting Garis Singgung

1. Garis singgung tegak lurus jari-jari

Sifat paling mendasar:
[
OT \perp t
]

Sifat ini menjadi dasar perhitungan panjang garis, sudut, dan berbagai konstruksi geometri.

2. Dua garis singgung dari satu titik sama panjang

Jika titik A berada di luar lingkaran, dan ditarik dua garis singgung ke lingkaran yang masing-masing menyentuh lingkaran di titik B dan C, maka:

[
AB = AC
]

Ini adalah salah satu sifat yang sering dipakai dalam soal-soal geometri.

3. Sudut antara garis singgung dan tali busur

Sudut antara garis singgung dan tali busur pada titik singgung sama dengan sudut yang dibentuk busur tersebut pada lingkaran.

Ini disebut teorema sudut garis singgung–busur.

5. Rumus Garis Singgung Lingkaran

Terdapat beberapa rumus penting terkait garis singgung dari titik A ke lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r.

Misalkan jarak AO = d.

Rumus Panjang Garis Singgung dari Titik A

Jika A di luar lingkaran:

[
AT = \sqrt{AO^2 - r^2}
]

Rumus ini berasal dari teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku AOT.

Jarak Titik ke Garis Singgung

Untuk lingkaran:
[
|Ax_0 + By_0 + C| = r\sqrt{A^2 + B^2}
]

Dalam konteks persamaan garis dan lingkaran, syarat garis menjadi garis singgung adalah ketika jarak pusat ke garis = jari-jari.

6. Garis Singgung dalam Koordinat Kartesius

Jika lingkaran berpusat di titik (a, b) dengan persamaan:

[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
]

dan garis berpersamaan:

[
Ax + By + C = 0
]

maka garis tersebut adalah garis singgung jika:

[
\frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r
]

Ini merupakan syarat jarak pusat ke garis = jari-jari.

7. Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung

Kasus 1: Garis singgung di titik (x₁, y₁)

Jika titik (x₁, y₁) berada tepat pada lingkaran:

[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
]

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

[
(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2
]

Atau bentuk yang lebih sering digunakan pada lingkaran berpusat di (0,0):

[
x x_1 + y y_1 = r^2
]

Kasus 2: Garis singgung dari titik di luar lingkaran

Gunakan rumus panjang garis singgung dan syarat garis singgung.

8. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1: Panjang garis singgung dari titik luar

Lingkaran berpusat di O dan r = 5 cm. Titik A berada 13 cm dari O.
Panjang garis singgung AT = ?

Jawab:

[
AT = \sqrt{AO^2 - r^2}
]
[
AT = \sqrt{13^2 - 5^2}
]
[
AT = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
]

Contoh 2: Garis singgung dua lingkaran

Dua lingkaran memiliki jari-jari 4 cm dan 9 cm. Jarak antara pusat keduanya 25 cm.
Panjang garis singgung luar?

Rumus garis singgung luar:

[
L = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2}
]
[
L = \sqrt{25^2 - (9 - 4)^2}
]
[
L = \sqrt{625 - 25} = \sqrt{600}
]
[
L = 10\sqrt{6}
]

Contoh 3: Persamaan garis singgung

Diberikan lingkaran:
[
x^2 + y^2 = 25
]
Cari persamaan garis singgung di titik (3,4).

Gunakan rumus:
[
x x_1 + y y_1 = r^2
]
[
3x + 4y = 25
]

9. Aplikasi Lingkaran dan Garis Singgung dalam Kehidupan

1. Teknik Mesin

Roda gigi (gear) adalah contoh nyata dari lingkaran dan garis singgung. Titik singgung antar roda gigi sangat penting dalam menentukan kecepatan putaran.

2. Arsitektur

Bangunan dengan kubah sering menggunakan perhitungan lingkaran dan garis singgung untuk memperkuat struktur.

3. Navigasi dan GPS

Algoritma GPS menggunakan konsep lingkaran (jarak dari satelit ke penerima) dan garis singgung untuk menentukan lokasi.

4. Transportasi

Jalan berkelok menggunakan prinsip lengkungan lingkaran agar belokan terasa halus.

5. Desain Produk

Logo, roda, jam tangan, lensa kamera—semua menggunakan prinsip lingkaran dan garis singgung.

10. Kesimpulan

Lingkaran dan garis singgung merupakan konsep dasar dalam geometri yang memiliki banyak sifat penting dan aplikasi luas dalam kehidupan. Pemahaman tentang hubungan antara pusat, jari-jari, titik singgung, serta cara menghitung panjang dan persamaan garis singgung sangat bermanfaat baik untuk keperluan akademis maupun praktis.

Dengan memahami konsep-konsep seperti garis singgung luar, garis singgung dalam, sifat dua garis singgung dari satu titik, serta persamaan garis singgung dalam koordinat, kita dapat mengatasi berbagai persoalan geometri dengan lebih mudah dan tepat